CARACTERISTICI ALE ESTIMATORILOR

Un estimator trebuie sa satisfaca doua conditii: sa fie nedistorsionat si relativ eficient. Se spune ca un estimator este nedistorsionat, daca media aritmetica a distributiei sale de esantionare este egala cu media aritmetica a populatiei de referinta. Conform teoremei limitei centrale, mediile aritmetice ale esantioanelor satisfac aceasta conditie: media aritmetica a distributiei de esantionare a mediilor aritmetice, , este egala cu media aritmetica a populatiei, μ. Statisticienii au demonstrat ca si proportiile esantioanelor, p, sunt nedistorsionate, intrucat media aritmetica a distributiei de esantionare a proportiilor pentru esantioane, μ_p, este egala cu proportia populatiei, P. Prin contrast, un estimator este distorsionat, daca media aritmetica a distributiei sale de esantionare este diferita de media aritmetica a populatiei. De pilda, abaterea standard a unui esantion este un estimator distorsionat al abaterii standard a populatiei: de regula, dispersia unui esantion este mai mica decat cea a populatiei de referinta, astfel ca s tinde sa subestimeze pe σ. Dupa cum am mentionat in capitolul 3, aceasta distorsiune poate fi corectata.

Un estimator nedistorsionat permite, intre altele, determinarea probabilitatii ca o marime statistica a unui esantion sa se afle la o anumita distanta fata de parametrul corespunzator pe care incercam sa-l estimam. Pentru ilustrare, sa presupunem ca ne intereseaza venitul mediu al unei populatii. Pentru aceasta, alcatuim un esantion aleatoriu cu n = 500 si calculam media aritmetica pentru acest esantion. Sa presupunem ca am gasit . Dupa cum am aratat, variabila venit prezinta o distributie asimetrica. Cu toate acestea, conform teoremei limitei centrale, distributia de esantionare a pentru esantioane mari (n 100) aproximeaza normalitatea, avand media aritmetica, , egala cu media aritmetica a populatiei, . Stim ca toate curbele normale contin aproximativ 68% din cazuri intre 1Z, 95% din cazuri intre 2Z si 98% din cazuri intre 3Z fata de medie. Aici, cazurile sunt medii aritmetice ale esantioanelor, astfel ca exista o probabilitate mare (aproximativ 68 de sanse din 100) ca media aritmetica a esantionului considerat, 5000000, sa se afle intre 1Z, o probabilitate foarte mare (95 din 100) ca aceasta medie sa se afle intre 2Z si o probabilitate extrem de mare (98 din 100) ca aceasta medie sa se afle intre 3Z fata de media aritmetica a distributiei de esantionare , care are aceeasi valoare cu :

Figura 6.1 Procente din aria de sub curba normala

De remarcat ca in aproximativ 2% din cazuri, media aritmetica de 5000000 se afla la mai mult de 3Z fata de media aritmetica a distributiei de esantionare. Practic, putem spune ca media aritmetica de 5000000 nu se afla in acea „minoritate”.

Cea de-a doua conditie pe care trebuie sa o satisfaca un estimator, eficienta, este legata de dispersie. Un estimator este cu atat mai eficient, cu cat distributia de esantionare este mai grupata in jurul mediei sale aritmetice sau, altfel spus, cu cat este mai mica abaterea standard a distributiei de esantionare. Sa consideram mediile aritmetice ale esantioanelor. Din teorema limitei centrale stim ca abaterea standard a distributiei de esantionare a mediilor aritmetice ale esantioanelor, , este egala cu , deci este invers proportionala cu n: cu cat dimensiunea esantionului este mai mare, cu atat este mai mica . Ca atare, eficienta mediei aritmetice ca estimator poate fi imbunatatita (= poate fi micsorata) prin marirea dimensiunii esantionului. Pentru ilustrare, sa consideram urmatorul exemplu:

Sa presupunem ca abaterea standard a populatiei, σ, este de 275000 (evident, valoarea lui σ este rareori cunoscuta in realitate). In privinta primului esantion, abaterea standard a distributiei de esantionare a mediilor aritmetice ale tuturor esantioanelor cu n = 100 este = 27500. In privinta celui de-al doilea esantion, abaterea standard a distributiei de esantionare a mediilor aritmetice ale tuturor esantioanelor cu n = 1000 este considerabil mai mica: = 8697. Cea de-a doua distributie de esantionare este mult mai grupata decat prima distributie[1].

Rezumand, intrucat este invers proportionala cu n, cu cat esantionul este mai mare, cu atat distributia de esantionare este mai grupata si eficienta estimatorului este mai mare[2].