Criterii de divizibilitate

CRITERII DE DIVIZIBILITATE

1. Criteriul de divizibilitate cu 2ⁿ si 5ⁿ, nIN

Un numar m = se divide cu 2ⁿ respectiv cu 5ⁿ, k n, daca si numai daca numarul format din ultimele n cifre ale lui m, este divizibil cu 2ⁿ respectiv cu 5ⁿ.

Demonstratie

Numarul m se scrie in baza 10 sub forma: m = a­­_k 10^k + a_k-1 10^k-1 + ….+ a_n 10ⁿ + . Deoarece 2ⁿ / 10^k (5ⁿ / 10^k) pentru orice k n, rezulta ca 2ⁿ / m (5ⁿ / m) daca si numai daca

2ⁿ / (5ⁿ / ).

2. Criteriul de divizibilitate cu 7, 11, 13

Un numar natural se divide cu 7 ( sau 11, sau 13) daca si numai daca diferenta dintre cele doua numere naturale obtinute prin „taierea” numarului dat in doua astfel incat la dreapta sa ramana un numar de 3 cifre, este divizibila cu 7 (sau 11, sau 13).

Demonstratie

Fie m = , n IN, n 2 si p = , q = .

Atunci m = 10³ p + q = (7 11 13 – 1)p + q = 7 11 13p + q – p. Rezulta ca 7 / m daca si numai daca 7/ (q – p).

Exemplu

Sa aratam ca numarul 83564 se divide cu 13.

564 – 83 = 481; 481 M 13.

3. Criteriul de divizibilitate cu 11

Un numar natural se divide cu 11 daca si numai daca diferenta dintre suma cifrelor de rang par si suma cifrelor de rang impar din numarul dat, se divide cu 11.

Demonstratie

Fie m = = a­­_n 10ⁿ + a_n-1 10^n-1 + ….+ a₁ 10 + a₀ si p = (a₀ + a₂ + ) – (a₁ + a₃ …).

Daca r = 2k, atunci 10^r = 10^2k = 9 111…1 + 1 = 9 M₁₁ + 1.

2k cifre

Daca r = 2k + 1, atunci 10^r = 10^2k+1 = 100…01 – 1 = 9090…9091 11 – 1 = M₁₁ – 1.

2k+2 cifre          2k cifre

Rezulta ca m = p + M₁₁ si deci 11 / m daca si numai daca 11 / p.

Exemplu

Fie numarul 72424.

p = 4 + 4 + 7 – (2 + 2) = 11

4. Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 si 19

Un numar natural se divide cu 3 (sau 7, sau 19) daca si numai daca suma dintre numarul format din ultimele doua cifre marit de 4 ori si numarul format din celelalte cifre, este divizibila cu 3 (sau 7, sau 19).

Obs. Daca este necesar se repeta procedeul pana cand se obtine un rezultat a carui divizibilitate cu 3 sau 7 sau 19 este evidenta.

Demonstratie

Fie m = , n IN, n 2 si p = , q = .

Atunci 4m = 4 10² p + 4q = (3 7 19 + 1)p + 4q = 3 7 19p + p + 4q. Rezulta ca 19 / m daca si numai daca 19/ (p + 4q).

Exemplu

Fie numarul  1110987.

11109 + 4 87 = 11457

114 + 4 57 = 342

3 + 4 42 = 171 iar 171 M 19.

5. Criteriul de divizibilitate cu 19

Un numar natural se divide cu 19 daca si numai daca suma dintre dublul cifrei unitatilor si numarul format din celelalte cifre, este divizibila cu 19.

Demonstratie

Fie m = , n IN, n 1 si p = .

21m = 210p + 21a₀ = (11 19 + 1)p + (19 + 2) a₀ = M₁₉ + p + 2a₀. Cum (21, 19) = 1, avem ca 19 / m daca si numai daca 19 / p + 2a₀

Exemplu

Fie numarul  1110987.

111098 + 2 7 = 111112          11111 + 2 2 = 11115 1111 + 2 5 = 1121

112 + 2 1 = 114                        11 + 2 4 = 19 iar 19 M 19

Rezolvarea propusa

6. Criteriul de divizibilitate cu 27 si 37

Un numar natural se divide cu 27, respectiv 37 daca si numai daca suma numerelor naturale obtinute prin „taierea” numarului in grupe de cate 3 cifre, incepand de la dreapta, se divide cu 27, respectiv cu 37.

Demonstratie

Fie m = . Atunci m = + 10³ + …..+ 10^n-2. Cum 10³ = 27 37 + 1, avem m = M₃₇ + + + …+ .

Deci 37 / m daca si numai daca 37 / + + …+ .

Exemplu

Fie numarul  5392158.

158 + 392 + 5 = 555 iar 37 / 555

7. Criteriul general de divizibilitate

Un numar natural m = se divide cu 10p q, n, p, q I N , daca si numai daca inlaturand ultima cifra, inmultind numarul obtinut cu q si scazand (adunand) la noul numar de p ori cifra suprimata, se obtine un numar divizibil cu 10p q.

Demonstratie

Efectuand operatiile indicate se obtine numarul m₁ = (10^n-1 a_n + 10^n-2 a_n-1 + … + a₁) q p a₀ . Atunci 10m₁ - q m = (10p q) a₀. Rezulta ca 10p q / m daca si numai daca 10p q / m₁.

Exemplu

Sa se verifice daca numarul 232716 se divide cu 43.

43 = 10 4 + 3, deci p = 4 si q = 3

m₁ = 3 23271 – 4 6 = 69789                          m₂ = 3 6978 – 4 9 = 20898

m₃ = 3 2089 – 4 8 = 6235                               m₄ = 3 623 – 4 5 = 1849

m₅ = 3 184 – 4 9 = 516  m₆ = 3 51 – 4 6 = 129; 129 M 43.

APLICATII

1. Aratati ca numarul este divizibil prin 8 daca si numai daca 4a + 2b + c este divizibil cu 8. Generalizare: un numar natural este divizibil cu 8 daca si numai daca suma dintre cifra unitatilor, dublul cifrei zecilor si cifra sutelor marita de 4 ori, este divizibila cu 8.

Solutie:

= 100a + 10b + c = 8(12a + b) + (4a + 2b + c). Deci 8/ daca si numai daca 8/ 4a + 2b + c.

= a­­_n 10ⁿ + a_n-1 10^n-1 + ….+ 100 a₂ + 10 a₁ + a₀ = a­­_n 10ⁿ + a_n-1 10^n-1 + ….+ a₃ 10³ + 96 a₂ + 8 a₁ + (a₀ 2a₁ + 4a₂

Deoarece 8 / a­­_n 10ⁿ + a_n-1 10^n-1 + ….+ a₃ 10³ + 96 a₂ + 8 a₁ rezulta ca 8 / daca si numai daca 8 / a₀ 2a₁ + 4a_2.

2. Aratati ca 37 / daca si numai daca 37 / .

Solutie:

Fie A = = a 10⁵ + b 10⁴ + c 10³ + x 10² + y 10 + z

si B = = b 10⁵ + c 10⁴ + x 10³ + y 10² + z 10 + a.

Observam ca B = 10A – 999999a. Folosind criteriul de divizibilitate cu 37 obtinem ca 999999 M 37, iar (37, 10) = 1, deci 37 / A daca si numai daca 37 / B.

3. Aratati ca numarul se divide cu 7 daca suma cifrelor numarului este 7.

Solutie:

Numarul M 7 daca si numai daca 4 + a M 7.

Cum 4 + a = 44b + a = 44b + 7 – 2b = 7(6b + 1) M 7.

4. Sa se determine numerele naturale formate din patru cifre impare diferite, care sunt divizibile cu 21.

Solutie:

Fie n = , a, b, c, d I 1, 3, 5, 7, 9 , a b c d.

Cum 3 / n implica 3 / (a + b + c + d) T (a, b, c, d) I (1, 3, 5, 9), (3, 5, 7, 9), ….. . Avem astfel 4! + 4! = 48 de numere n cu proprietatea 3 / n.

Dintre acestea, folosind criteriul de divizibilitate cu 7, gasim pe cele divizibile cu 7. De exemplu 5397 (397 – 5 = 392 M 7).

5. Sa se arate ca numarul n = , a 0, k, pI N, nu poate fi prim.

k+2 cifre 2p cifre k cifre

Solutie:

Numarul n are 2(k + p + 1) cifre, iar diferenta dintre suma cifrelor de rang par si suma cifrelor de rang impar este 0, deci 11 / n si n > 11.

6. Fie numarul A = de n + 2 cifre si numarul B = de 3n cifre, nIN

Aratati ca, daca 2 / n, atunci 11 / A si 11 / B.

Solutie:

Daca n = 2k avem A = a(10^2k+1 + 1) + b . Cum 11 / (10^2k+1 + 1) si 11 / rezulta ca

11 / A.

Avem B = ( 10^{6k – 3} + 10^{6k – 6} + ….+ 10³ + 1). Cum 11 / ( 10^{6k – 3} + 10^{6k – 6} + ….+ 10³ + 1) rezulta ca 11 / B.

7. Fie numarul n = 1234567891011.…..9899. Stabiliti daca n se divide cu 11.

Solutie:

Numarul n are 9 1 + 90 2 = 189 cifre.

Suma cifrelor de rang impar este S₁ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 9 (0 + 1 + 2 +….+ 9) = 430 iar suma cifrelor de rang par este S₂ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 1 + 10 2 + …. + 10 9 = 470. Cum S­₂ – S₁ = 40, numarul n nu se divide cu 11.