ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE

SISTEMUL DE INDICATORI CE CARACTERIZEAZA

SERIILE CRONOLOGICE

I. INDICATORII ABSOLUTI

• nivelurile absolute ale termenilor seriei.
• modificarea absoluta (spor sau scadere absoluta) calculata cu baza fixa.

u.m. .

modificarea absoluta cu baza in lant.

u.m. .

Relatii utile :

u.m.,

u.m.,

II. INDICATORII RELATIVI

sau - indicele de dinamica calculat cu baza fixa, exprimat sub forma de coeficient sau procentual.

sau indicele de dinamica calculat cu baza in lant.

Relatii utile : unde

, unde .

ritmul de dinamica cu baza fixa :

sau

ritmul de dinamica cu baza in lant :

sau , .

valoarea absoluta a unui procent de dinamica cu baza fixa :

sau

valoarea absoluta a unui procent de dinamica cu baza in lant :

, .

III. INDICATORII MEDII

nivelul mediu pentru o serie cronologica de intervale de timp :

u.m.

nivelul mediu pentru o serie de momente cu intervale egale intre momente :

u.m.

nivelul mediu pentru o serie de momente cu intervale neegale intre momente :

u.m.

Observatie. se numeste medie cronologica simpla;

se numeste medie cronologica ponderata, fiind singurul indicator mediu care caracterizeaza o serie de momente cu intervale neegale intre datele inregistrate.

modificarea medie absoluta :

u.m. sau u.m. .

indicele mediu de dinamica :

sau

ritmul mediu de dinamica :

.

AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Seria cronologica poate fi definita ca o succesiune de valori numerice ordonate in timp, valori care se modifica datorita influentelor de natura sistematica si a altora de tip aleator.

Componentele sistematice ale unei serii cronologice sunt:

tendinta centrala sau trendul;

oscilatii (variatii) periodice datorate diferitelor cauze dintre care cele mai frecvente sunt oscilatiile sezoniere care se repeta ritmic cu o periodicitate constanta mai mica de un an (semestru, trimestru, luna, decada);

ciclicitatea care se prezinta sub forma de fluctuatii in jurul tendintei, inregistrate la perioade mai mari de un an.

Componentele aleatoare se manifesta ca devieri de la linia evolutiei sistematice, ca efect al actiunii unor factori accidentali, spontani, imprevizibili, etc.

Valoarea ajustata este acea valoare obtinuta prin calcul pe baza unei functii matematice de ajustare.

Dispersia totala se noteaza si se defineste astfel :

Dispersia termenilor seriei de la valorile ajustate sintetizeaza influenta factorilor reziduali (factori neinregistrati care la seriile cronologice sunt toti cei care produc modificari cu exceptia factorului timp) si se calculeaza dupa formula:

unde este valoarea teoretica a variabilei y obtinuta prin ajustare in raport cu timpul. Dispersia valorilor ajustate de la valoarea medie se noteaza cu care sintetizeaza numai variatia produsa de modificarea factorului timp.

Metodele de ajustare pot fi simple (metoda mediilor mobile, metoda grafica, metoda modificarii mediei absolute, metoda indicelui mediu de dinamica) sau analitice, care au la baza un model matematic.

Metoda mediilor mobile este specifica seriilor care prezinta oscilatii sezoniere sau ciclice.

Mediile mobile sunt medii aritmetice simple calculate dintr-un numar prestabilit de termeni (par sau impar) in functie de periodicitatea influentei factorilor sezonieri.

Ajustarea cu medii mobile dintr-un numar par de termeni se face in doua trepte:

medii mobile provizorii

medii mobile definitive (sau centrate), care se plaseaza in dreptul termenilor seriei si reprezinta valorile ajustate ale termenilor respectivi din seria initiala.

Metoda grafica este un procedeu care consta in reprezentarea grafica a seriei de date empirice prin cronograma (historiograma) si apoi se traseaza vizual, dreapta sau curba care uneste cele doua puncte extreme ale seriei dinamice, astfel incat sa aiba abateri minime fata de pozitia valorilor reale in grafic.

Metoda modificarii mediei absolute.

Procedeul se utilizeaza atunci cand sirul de date privind nivelurile fenomenului se aseamana cu o progresie aritmetica, deci modificarile absolute cu baza in lant au valori aproape constante.

Functia de ajustare :

u.m., unde

sau

unde :

reprezinta termenul luat ca baza de ajustare (acea valoare care se apropie cel mai mult de dreapta sau curba trasata vizual pe

grafic);

reprezinta variabila timp in raport cu baza de ajustare folosita (pozitia pe care o are termenul respectiv fata de cel ales ca baza de ajustare);

Metoda indicelui mediu de dinamica.

Ajustarea prin acest procedeu se utilizeaza in cazul in care sirul termenilor urmeaza aproximativ o progresie geometrica.

Functia de ajustare :

u.m., unde

sau

u.m.,

unde , sunt cei din si respectiv .

Metodele analitice de ajustare

Metodele analitice sunt folosite pentru estimarea cat mai corecta a tendintei generale descrise de fenomene in timp si in acest scop s-a apelat la conceptul de functie de ajustare : , unde

t – reprezinta valorile variabilei independente (timpul);

y – reprezinta valorile variabilei dependente (fenomenele) care sunt prezentate in seria cronologica.

Criteriile folosite pentru alegerea tipului de functie care se potriveste cel mai bine pentru exprimarea trendului, aplicabile optional :

criteriul bazat pe reprezentarea grafica : se construieste cronograma si forma ei sugereaza un model matematic de functie;

criteriul diferentelor : se calculeaza diferentele absolute cu baza in lant de ordinul unu din termenii seriei , de ordinul doi etc. pana obtinem diferentele de ordin k aproximativ constante si se apreciaza ca seria cronologica are o tendinta ce poate fi modelata printr-un polinom de gradul k ;

daca indicii cu baza in lant sunt constanti, admitem ca seria cronologica prezinta o tendinta exponentiala.

Dupa stabilirea modelului de ajustare se trece la estimarea parametrilor calculati pe principiul ca suma patratelor diferentelor dintre valorile empirice () si cele teoretice () sa fie minime (metoda celor mai mici patrate) :

Modelul liniar. , , unde:

, sunt valorile caracteristicii factoriale, care in cazul seriilor cronologice este timpul ;

a este parametrul care are valoarea egala cu media seriei si arata ce nivel ar fi atins y daca influenta tuturor factorilor cu exceptia celui inregistrat ar fi constanta pe toata perioada;

b sintetizeaza numai influenta caracteristicii factoriale;

sunt valorile ajustate calculate in functie de valorile caracteristicii factoriale .

Consideram si conform metodei celor mai mici patrate punctul stationar al functiei realizeaza minimul functiei. Solutia este a sistemului:

sistem liniar , care admite solutia:

, unde , , , stabilind in prealabil numarul de cifre care vor fi luate in considerare dupa virgula, atunci cand este cazul. Valorile ajustate ale caracteristicii rezultative sunt :

Analizand gradul de dependenta dintre caracteristica de timp si caracteristica rezultativa , se poate constata ca nu este in functie de timp. }n general, orice fenomen social-economic depinde de mai multi factori a caror influenta este prezenta in toate unitatile de timp. Astfel, productia depinde printre altele de gradul de inzestrare tehnica, de gradul de calificare a muncii, de modul de organizare a procesului de munca etc. Pentru a anula influenta variatiei de timp, se pune conditia

Modelul parabolic , .

Folosind obtinem sistemul :

numit ca si in cazul modelului liniar, sistem de ecuatii normale. Solutia lui ne permite calculul valorilor ajustate .

Modelul hiperbolic are sistemul de ecuatii normale:

Modelul exponential prin logaritmare se transforma intr-un model liniar , iar sistemul de ecuatii normale este :

Cu () solutia sistemului anterior determinam: si prin antilogaritmare aflam .

Criterii de alegere a procedeelor de ajustare

Calculam si consideram ca modelul care corespunde este acela pentru care suma calculata are valoarea cea mai mica.

Determinam in prealabil abaterea medie liniara a valorilor reale de la valorile ajustate

si calculam coeficientul de variatie alegerea modelului se face pe acelasi principiu ca mai sus.

Extrapolarea seriilor cronologice

Metodele si procedeele folosite pentru ajustarea termenilor unei (SCR) sunt folosite si pentru extrapolare. Termenii ce urmeaza a fi calculati sunt valori teoretice si ii vom nota cu ca sa-i distingem de , iar variabila timp va fi

Prognozele sunt fundamentate atunci cand numarul de termeni este suficient de mare (cel putin 6-7 termeni) si la culegerea datelor tinem seama de evolutia fenomenului in timp.

Formulele de calcul sunt :

-pe baza sporului mediu,

-pe baza indicelui mediu de crestere,

-pentru modelul liniar,

-pentru modelul parabolic.

PROBLEME REZOLVATE

1. Analiza statistica a unei serii cronologice de intervale.

Evolutia productiei fizice (mii de bucati) la societatea “MEDIMPACT” S.A. pentru perioada 1990-1999 la produsul de baza (incaltaminte), se prezinta in tabelul nr.1.

Se cere: a) sa se caracterizeze evolutia productiei fizice (mii buc.) folosind indicatorii:

-absoluti;

-relativi;

-medii.

b) sa se reprezinte grafic seria valorilor

c) folosind metodele mecanice si analitice, determinati trendul de evolutie;

d) alegeti metoda cea mai adecvata care ajusteaza fenomenul si sa se extrapoleze seria pentru anii 2000, 2001, 2002.

Rezolvare:

a)     Calculul indicatorilor absoluti:

-nivelul absolut este reprezentat de termenii seriei din tabelul nr.1 randul 2. Facem mentiunea ca mii bucati, deci

.

nivelul totalizat : mii bucati

modificari absolute (

cu baza fixa mii bucati (tabelul 2, col.2)

mii bucati

mii bucati

.

mii bucati

cu baza in lant mii bucati (tabelul 2, col.3)

mii bucati.

mii bucati.

..

mii bucati

-Relatii intre si :

mii bucati

mii bucati

mii bucati

mii bucati.

mii bucati

Calculul indicatorilor absoluti

Tabelul nr.2

Calculul indicatorilor relativi :

Indicele de dinamica (crestere/descrestere) :

cu baza fixa - tabelul nr.3 col.2

57,628% 57,63%

..

35,360%s35,36%

cu baza in lant tabelul nr.3 col.3

57,628% 57,63%

77,817% 77,82%

102,083% 102,08%

Relatiile de legatura :

Calculul indicatorilor relativi

Tabelul nr.3

Ritmul de modificare (crestere/descrestere) :

cu baza fixa (vezi tabelul nr.3 col 4)

100-100 s 0

57,63 – 100 s -42,37

35,36 – 100 s -64,64

cu baza in lant (vezi tabelul nr.3 col.5)

57,63 – 100 s -42,37

77,82 – 100 s - 22,18

102,8 – 100 s 2,08

Valoarea absoluta a unui procent din ritmul modificarii (A) :

cu baza fixa mii bucati (vezi tabelul nr.3 col.6)

19,4 mii bucati

19,4 mii bucati

cu baza in lant mii bucati (vezi tabelul nr.3 col.7)

19,4 mii bucati

11,18 mii bucati

.

6,72 mii bucati

Calculul indicatorilor medii.

Nivelul mediu absolut () : seria cronologica din acest exemplu este o serie pe intervale pentru care nivelul mediu se calculeaza aplicand formula mediei aritmetice:

88,35 mii bucati.

Productia fizica medie anuala a fost de 88,35 mii bucati.

Modificarea medie absoluta () :

mii bucati.

In medie s-a inregistrat in perioada 1990-1999 o descrestere anuala de 139,33 mii bucati.

Indicele mediu ( ) :

sau

Ritmul mediu () :

c) Metode mecanice pentru determinarea tendintei generale (a trendului)

    Metoda modificarii medii absolute

mii bucati

Metoda indicelui mediu

mii bucati

Valorile ajustate prin aceste doua metode sunt prezentate in tabelul nr. 4 coloanele 3 respectiv 4.

Tabelul nr. 4

Metode analitice

Cronograma din fig. nr. 1 indica o evolutie parabolica sau hiperbolica.

Pentru ajustarea parabolica , iar sistemul de ecuatii normale este:

}n tabelul nr. 5 sunt efectuate calculele necesare rezolvarii sistemului, dar si valorile ajustate , . Seria are 10 ani, deci mijlocul seriei este intre 1994 si 1995, deci , .

Tabelul nr. 5

Sistemul de ecuatii normale este

, ,

, ,

.

Deci ,

Tabelul nr. 5

Pentru trendul hiperbolic calculele necesare determinarii solutiei a sistemului de ecuatii normale si valorile ajustate sunt prezentate in tabelul nr. 6.

Tabelul nr. 6

Sistemul are solutia .

d) Comparand cu observam ca pentru valorile ajustate dupa modelul hiperbolic, deci acesta ar fi cel care corespunde.

}n tabelul nr. 7 vom calcula luand state cu fiecare dintre modelele utilizate.

Tabelul nr. 7

Calculul coeficientilor de variatie

Tabelul nr. 8

-compararea abaterilor absolute ale valorilor teoretice (ajustate) fata de cele empirice conduce la alegerea modelului parabolic.

-compararea patratelor abaterilor dintre valorile empirice si cele ajustate conduce la aceeasi alegere ca mai sus.

-compararea coeficientilor de variatie calculati dupa relatiile :

(vezi tabelul nr. 8 coloana 4)

sau

(vezi tabelul nr. 8 coloana 5)

conduce la alegerea modelului parabolic.

Extrapolam productia fizica pentru urmatorii doi ani, considerand ca sunt aceleasi conditii si prezentam rezultatele in tabelul nr. 9.

Tabelul nr. 9

2. Se cunosc urmatoarele date privind importurile de calculatoare in perioada 1992-2000.

Tabelul nr. 10

Se cere:

a) reconstituirea seriei de valori absolute, stiind ca valoarea importului a crescut in perioada 1992-2000, in medie cu 21,25%;

b) sa se calculeze indicatorii medii si sa se interpreteze rezultatele;

c) sa se ajusteze seria printr-un procedeu analitic adecvat;

d) sa se calculeze coeficientul de variatie.

Rezolvare. a) }n randul 2 din tabelul nr. 10 sunt prezentate avand ca baza de comparatie anul 1992.

.

Valoarea importului a crescut in perioada 1992-2000, in medie cu 21,25%, adica

.

Dar .

Asadar,

.

Folosim modificarile absolute cu baza in lant ca sa determinam termenii initiali ai seriei:

Seria cautata este prezentata in tabelul nr. 11.

Tabelul nr. 11

b) Indicatorii medii :

nivelul mediu , adica s-au importat in medie, anual, calculatoare in valoare de

modificarea medie absoluta

ritmul mediu a fost dat si pe baza lui s-a determinat indicele mediu de crestere

c) }ntocmim cronograma si in functie de forma sa alegem modelul analitic.

Graficul sugereaza o evolutie liniara, deci alegem

, .

Sistemul ecuatiilor normale: .

Pentru determinarea parametrilor modelului liniar intocmim tabelul nr. 12.

Tabelul nr. 12

Sistemul devine

.

d) Calculam ambii coeficienti de variatie:

Valoarea lor este mica, deci apreciem ca aproximeaza teoretic destul de bine valorile empirice.

SERII CRON.CONT.

3. Se cunosc urmatoarele date cu privire la numarul de hoteluri si moteluri in Romania in perioada 1988-1995:

Tabelul nr.13

Continuare

Se cere: a) sa se reconstituie seria de valori

b) sa se calculeze toti indicatorii absoluti si relativi.

Rezolvare:

a)     Cunoastem modificarile absolute fata de anul precedent, adica t s 1988, 1989,,1995 si modificarile relative fata de anul precedent (%) adica ,t s 1988, 1989, , 1995, deci putem defini valoarea absoluta a unui procent de dinamica cu baza in lant ():

t s 1988, 1989,,1995.

Calculele sunt prezentate in tabelul nr.14.

Determinarea valorilor absolute.

Tabelul nr.14.

Pentru y1995 folosim D1995/1994 s y1995- y1994 T y1995 s y1994 + D1995/1994 s 924 + 5 s 929 si completam in tabelul nr.14 coloana 4 ultima rubrica.

Cunoscand R1995/1994 putem determina I1995/1994% s R1995/1994 + 100%, adica

I1995/1994% s 0,5411 + 100 s 100,5411% T

I1995/1994 s 1,005411

9I1995/1994 s y1995/y1994 T y1995 s y1994 1,005411 s 924 1,005411 s 928,9 929

b)     Indicatorii absoluti si relativi pentru seria reconstituita sunt prezentati in tabelul nr.15.

Tabelul nr.15

4.Situatia stocului de marfa in anul 2000 la societatea comerciala “X” se prezinta in tabelul urmator :

Tabelul nr.16

Precizati tipul seriei si determinati indicatorii medii ai acestei serii.

Rezolvare : Se constata ca inregistrarea valorii stocului de marfa s-a facut regulat la inceputul fiecarei luni, deci este o serie de momente cu intervale egale. Valoarea stocului mediu se determina folosind media cronologica simpla :

mil.lei/luna.

Modificarea medie absoluta (sau sporul mediu) :

mil lei/luna

Indicele mediu de dinamica (sau indicele mediu lunar) :

Calculam logaritmul zecimal din I :

0,00141

de unde antilog 0,00141 T sau %

Ritmul mediu lunar :

sau %

5. Stocul unui grup omogen de marfuri a inregistrat urmatoarea evolutie in semestrul I al anului 2001 :

Tabelul nr.17

Precizati tipul seriei si determinati nivelul mediu al seriei.

Rezolvare:

Seria prezentata este o serie de momente cu intervale neegale. Pentru usurinta rezolvarii vom considera luna egala cu 30 de zile.

Nivelul mediu se va calcula folosind media cronologica ponderata.

1I1II 15II 1III1IV 1V 31VI

t1 s 45 zilet2 s 45 zile t3 s 30 zile t4 s 60 zile

Deci mil.lei/luna.

1720,83 1720,8 mil.lei/luna.

6. Valoarea vanzarilor de marfuri alimentare in 2000 a fost de 1580 mld.lei, iar dinamica acestora in fiecare an fata de 1994 a inregistrat urmatoarele valori :

Tabelul nr.18

N.E. Date conventionale

Sa se reconstituie seria de valori absolute si sa se reprezinte grafic aceasta.

Rezolvare:

Dinamica vanzarilor fata de 1994 reprezinta indicii de dinamica cu baza fixa y1994sy0:

T I1/0 s 1,2985 T y1 s y0 1,2985

T I2/0 s 1,36915 T y2 s y0 1,36915

T I6/0 s 1,3915 T y6 s y0 1,3915 T 1580 s y0 1,3915 T

mld.lei s 1135,46 1135,5 mld.lei

Cu ajutorul lui y0 s 1135,5 mld.lei se vor obtine valorile vanzarilor de marfuri pentru fiecare an :

y1 s y1995 s 1135,5 1,2985 s 1474,44 1474,4 mld.lei.

y2 s y1996 s 1135,5 1,3915 s 1554,66 1554,7 mld.lei

y3 s y1997 s 1135,5 1,3845 s 1572,09 1572,1 mld.lei.

y4 s y1998 s 1135,5 1,3852 s 1572,89 1572,9 mld.lei.

y5 s y1999 s 1135,5 1,4020 s 1591,97 1592,0 mld.lei.

Seria reconstituita este :

Tabelul nr.19

Graficul seriei este :

Fig.nr.Reprezentarea grafica a vanzarilor de marfuri alimentare.

7. In anul 2000 vanzarile de marfuri alimentare au fost mai mari fata de 1994 cu 39,848%, iar modificarile absolute in fiecare an fata de 1994 sunt prezentate in tabelul nr. 20.

Tabelul nr. 20

Reconstituiti seria valorilor absolute si utilizati un procedeu mecanic si unul analitic pentru ajustarea valorilor seriei reconstituite. (Justificati alegerea modelului de ajustare).

Rezolvare:

Vanzarile de marfuri alimentare fiind in anul 2000 mai mari fata de 1994 cu 39,848% inseamna ca se cunoaste ritmul de dinamica R2000/1994s 39,848% T I2000/1994 % s 139,848% T I2000/1994s 1,39848. T 1,39848. Baza de comparatie fiind anul 1994 T y1994 s y0 si apoi y1995 s y1,,y2000 s y6, deci 1,39848. Din tabelul nr. 20 avem

D2000/1994 s 152 mld.lei T y6 – y0 s152. Formam un sistem de ecuatii din care determinam yk, k s 0, 1,, 6 si vom exprima valorile lor cu numere intregi.

T T T y0 s y1994 381 mld.lei T y6 s 1,39848 381 s 532,8 533 mld.lei. Folosind modificarile absolute fata de 1994 obtinem :

y1995 s y1994 +48 T y1995 s 381 + 48 s 429 mld.lei,

y1996 s y1994 + 125 T y1996 s 381 + 125 s 506 mld.lei,

y1997 s y1994 + 170 T y1997 s 381 + 170 s 551 mld.lei,

y1998 s y1994 + 174 T y1998 s 381 + 174 s 555 mld.lei,

y1999 s y1994 + 145 T y1999 s 381 + 145 s 526 mld.lei,

y2000 s y1994 + 152 T y2000 s 381 + 152 s 533 mld.lei.

Fig.nr. Reprezentarea grafica a vanzarilor de marfuri alimentare.

Graficul sugereaza o evolutie parabolica sau exponentiala si ca urmare vom

determina diferentele absolute cu baza in lant si indicii de dinamica cu baza in lant (vezi tabelul nr.21).

Tabelul nr. 21

Diferentele absolute cu baza in lant de ordinul 2, dupa cum se observa in tabelul nr. 21 coloana 3, nu au valori aproape constante deci nu putem utiliza un polinom de gradul doi pentru ajustarea valorilor seriei cronologice.

Se observa ca valorile indicilor de dinamica cu baza in lant (vezi tabelul nr.21 coloana 4) au valori apropiate, deci se justifica alegerea modelului exponential ca model analitic si metoda indicelui mediu de dinamica ca procedeu mecanic.

Ecuatia modelului exponential este: i s 0, 1,,6.

Prin logaritmare obtinem:

Sistemul de ecuatii normale este:

Calculul valorilor ajustate prin cele doua procedee. Tabelul nr.22.

Tabelul nr.22. Continuare

Folosind datele din tabelul nr.22 sistemul de ecuatii normale devine :

T T

a s 102,69296 T a s 493,128

b s 100,02338 T b s 1,05531

Alegem o exprimare cu doua cifre dupa virgula, deci a s 493,13 si b s 1,06, asadar ecuatia modelului exponential este mld.lei, i s 0, 1,,6. Valorile ajustate sunt :

s 493,13 1,06-3 s 414,04

s 493,13 1,06-2 s 438,88

s 493,13 1,06-1 s 465,22

s 493,13 1,060 s 493,13

s 493,13 1,061 s 522,72

s 493,13 1,062 s 554,08

s 493,13 1,063 s 587,33.

Prin procedeul mecanic definim valorile ajustate prin mld.lei, valori care sunt prezentate in tabelul nr.22 coloana 3.

8. Valoarea absoluta a 1% din ritmul de crestere in 1995 fata de 1994 a fost de 3,81 mld.lei, modificarile relative in fiecare an in perioada 1995 – 2000 fata de anul anterior sunt prezentate in tabelul nr. 23.

Tabelul nr.23

Sa se reconstitue seria de date privind valoarea vanzarilor de marfuri alimentare intre anii 1995 – 2000.

Rezolvare:

Deoarece valoarea absoluta a 1% din ritmul de crestere in 1995 fata de 1994 a fost de 3,81 mld.lei deducem ca:

T mld.lei

Din tabelul nr.23 se observa ca R1995/1994% s 12,598 T

T 0,12598 T y1995 s 1,12598 y1994 T

y1995 s 1,12598 381 s 428,99838 429 mld.lei.

Analog se obtin valorile :

Y1996 s (1 + 0,17949) y1995 s 506 mld.lei

Y1997 s (1 + 0,08893) y1996 s 551 mld.lei

Y1998 s (1 + 0,00726) y1997 s 555 mld.lei

Y1999 s (1 - 0,05225) y1998 s 526 mld.lei

Y2000 s (1 + 0,01331) y1999 s 533 mld.lei

9. Ritmul mediu de crestere al vanzarilor de marfuri alimentare a fost de 5,75% in perioada 1994 – 2000, iar modificarile absolute in fiecare an fata de 1994 au inregistrat valorile ce sunt prezentate in tabelul nr.24.

Tabelul nr.24

Sa se reconstituie seria valorilor absolute privind vanzarea marfurilor alimentare in fiecare an in perioada 1995 – 2000.

Rezolvare :

Se cunoaste ritmul mediu de crestere T

Dar la care se adauga D2000/1994 s 152 mld.lei (din tabelul nr.24) si obtinem un sistem din care calculam y2000 si y1994 :T

T y1994 s 381,3 381 mld.lei si y2000 s 1,39856 381 s 532,8 533 mld.lei

Din : D1995/1994 s 48 mld.lei T y1995 s 48 + y1994 s 429 mld.lei

D1996/1994 s 125 mld.lei T y1996 s 125 + y1994 s 506 mld.lei

D1997/1994 s 170 mld.lei T y1997 s 170 + y1994 s 551 mld.lei

D1998/1994 s 174 mld.lei T y1998 s 174 + y1994 s 555 mld.lei

D1999/1994 s 145 mld.lei T y1999 s 145 + y1994 s 526 mld.lei

10. Valoarea vanzarilor de marfuri in judetul “X” a fost in anul 2001 cu 187 mld.lei mai mare fata de anul 1994, ceea ce reprezinta o crestere relativa cu 38,975%. Determinati valoarea vanzarilor de marfuri in anii 1994 si 2001 si indicatorii medii ce caracterizeaza vanzarile de marfuri in perioada 1994-2001.

Rezolvare : Cunoastem modificarea absoluta a vanzarilor din anul 2001 fata de anul 1994 :D2001/1994 s 187 mld.lei T y2001 y1994 187 mld.lei si cresterea relativa cu 38,975% adica R2001/1994% s 38,975 T R2001/1994 s 0,38975 T 0,38975 T T y1994 s 479,79 479,8 mld.lei.

Dar y2001 s 187 + y1994 s 187 + 479,8 s 666,8 mld.lei.

Deci valoarea vanzarilor de marfuri in anul 1994 este y1994 s 479,8 mld.lei iar in anul 2001 este y2001 s 666,8 mld.lei.

Indicatorii medii ce pot fi determinati folosind nivelul absolut y1994 si y2001 sunt:

sporul mediu ( ) :

26,71 26,7 mld.lei.

Indicele mediu de crestere () :

1,04814 1,0481 sau % s 104,81%.

ritmul mediu de crestere () :

1,0481 – 1 s 0,0481 sau 104,81 – 100 s 4,81%.

PROBLEME PROPUSE

1. Pretul unui produs de panificatie a inregistrat urmatoarea evolutie in ultimii ani:

Tabelul nr.25

Se cere:

a) sa se reprezinte grafic seria cronologica,

b) sa se calculeze indicatorii absoluti, relativi si medii ce caracterizeaza seria cronologica,

c) folosind metode mecanice si analitice sa se ajusteze seria cronologica,

d) alegeti metoda cea mai buna care ajusteaza tendinta de evolutie a fenomenului.

2. Se cunosc urmatoarele date privind populatia ocupata (total) a Romaniei:

Tabelul nr.26

Se cere:

a)     sa se reconstitue seria valorilor absolute stiind ca ritmul mediu de crestere a fost de –2,768% in perioada 1990-1999,

b)     sa se reprezinte grafic seria,

c)     sa se calculeze indicatorii medii,

d)     sa se ajusteze seria printr-o metoda analitica si sa se calculeze coeficientul de variatie.

3. Dinamica consumului mediu anual de lapte si produse lactate din Romania a inregistrat urmatoarea evolutie prezentata in tabelul nr.27.

Tabelul nr.27

Stiind ca consumul mediu anual de lapte si produse lactate (l/locuitor) in anul 1994 a fost de 179,5 l se cere:

a)     sa se reconstitue seria de date;

b)     sa se calculeze toti indicatorii absoluti, relativi si medii;

c)     sa se ajusteze seria folosind procedee mecanice;

d)     sa se aleaga modelul cel mai bun de ajustare si sa se extrapoleze seria pentru anii 1999, 2000 si 2001.

4. Veniturile unei societati comerciale in perioada 1994-2001 se prezinta prin “cresterea fata de anul precedent” in tabelul nr.28.

Tabelul nr.28

Se cere:

a)     sa se reconstitue seria de valori absolute stiind ca valoarea veniturilor a crescut in anul 1997 fata de anul 1994 cu 26,24%;

b)     sa se calculeze indicatorii medii si sa se comenteze rezultatele;

c)     folosind un procedeu mecanic si unul analitic sa se ajusteze seria cronologica, justificand procedeul ales;

d)     sa se precizeze care din cele doua modele de ajustare caracterizeaza cel mai bine evolutia veniturilor in perioada analizata.

5. Consumul mediu pe familie pentru produsul “X” din judetul “Y” a inregistrat urmatoarea evolutie prezentata in tabelul nr.29.

Tabelul nr.29

Se cere:

a)     sa se reprezinte grafic seria cronologica;

b)     sa se calculeze indicatorii ce caracterizeaza evolutia consumului mediu pe familie;

c)     sa se ajusteze seria folosind metode mecanice si sa se aleaga cel mai bun model;

d)     sa se estimeze consumul mediu pe familie pentru anii 2001 si 2003.

6. In semestrul II al anului 2001, stocul de marfuri inregistrat la un magazin alimentar este prezentat in tabelul nr.30.

Tabelul nr.30

Precizati tipul seriei si calculati nivelul mediu al seriei.

7. Stocurile de marfa la societatea comerciala “X” au inregistrat in cursul anului 2000 urmatoarele valori prezentate in tabelul nr.31.

Tabelul nr.31

Continuare tabelul nr.31

Se cere:

a)     Sa se precizeze tipul seriei;

b)     Sa se calculeze indicatorii medii ai acestei serii.