Pozitiile relative a doua drepte in spatiu. axioma lui euclid. relatia de paralelismin spatiu.

POZITIILE RELATIVE A DOUA DREPTE IN SPATIU. AXIOMA LUI EUCLID. RELATIA DE PARALELISMIN SPATIU.

Definitie. Doua drepte situate in acelasi plan se numesc coplanare.

Definitie Doua drepte care nu au nici un punct comun si nu sunt paralele se numesc necoplanare.

Putem sintetiza pozitiile relative a doua drepte in spatiu.

i)         Drepte coplanare:

- paralele

-concurente

ii) Drepte necoplanare:

Exercitiu.Se da cubul Sa se precizeze pozitia perechilor de drepte:

Axioma lui Euclid.

Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralela si numai una la dreapta data.

Tranzitivitatea relatiei de paralelism in spatiu.

In spatiu doua drepte distincte paralele cu o a treia sunt paralele intre ele.

Exercitiu. Se da paralelipipedul Sa se precizeze pozitia relativa a urmatoarelor perechi de drepte:

2. Unghiul a doua drepte in spatiu.

i) Unghiuri cu laturile paralele.

• Doua unghiuri din plan cu laturile paralele doua cate doua sunt congruente( daca ambele sunt ascutite sau obtuze) sau suplementare (daca unul este ascutit si unul este obtuz).

• Doua unghiuri necoplanare cu laturile paralele doua cate doua sunt congruente (daca amandoua sunt ascutite sa amandoua sunt obtuze ) si sunt suplementare (daca unul este ascutit si unul obtuz).
• Daca un unghi este drept, celalalt este tot drept.

ii)      

Definitie Prin unghiul a doua drepte in spatiu intelegem orice unghi ascutit sau drept cu varful in orice punct al apatiului si cu laturile paralele cu dreptele date.

necoplanare Luam o un punct

oarecare din spatiu

In ultima figura vedem cum nu trebuie construit unghiul a doua drepte in spatiu.

Observatii

De obicei varful unghiului se ia pe una din drepte.

Unghiul a doua drepte are masura de daca si numai daca dreptele sunt paralele.

Daca dreptele sunt concurente atunci ele formeaza un unghi plan.

Exercitii.

Sa se afle:

In paralelipipedul alaturat sa se afle:

a)

b) sa se calculeze:

Se da o piramida

patrulatera VABCD cu varful in V iar O centrul bazei.Sa se determine unghiurile de mai jos stiind ca toate muchiile au lungimea a:

3.Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan, pozitiile relative a doua plane.

Dreapta este inclusa Dreapta este paralela Dreapta inteapa plan. cu planul. planul in A.

Teorema.

O dreapta paralela cu o dreapta din plan este paralela cu planul sau continuta in el.

Cu ajutorul acestei teoreme se poate stabili daca o dreapta este paralela cu un plan.

Exercitiu.

Sa se stabileasca pozitia:

- dreptei fata de planul ;

- dreptei fata de planul

- dreptei fata de planul

Pozitiile relative a doua plane.

Plane paralele              Plane secante

Exercitii.

1. O dreapta paralela cu un plan este paralela cu orice dreapta a planului?
2. Doua drepte paralele cu un plan sunt neaparat paralele?
3. Doua drepte situate in plane paralele sunt neaparat paralele?
4. Se da paralelipipedul dreptunghic . Sa se precizeze :

i)         pozitiile dreptei fata de planele

ii)       pozitiile planului fata de planele

iii)     intersectia planelor

5. Baza BC a triunghiului ABC este inclusa in planul , varful A este ezterior lui , .Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul , daca :

i)         M si N sunt mijloacele segmentelor

ii)       MA=4cm; MB=10cm; NA=6cm; Nc=9cm

iii)     MA=4cm; AB=10cm; NC=10cm; AC=15cm