Olimpiada de matematica etapa locala 12 februarie clasa a vi-a

OLIMPIADA DE MATEMATICA ETAPA LOCALA 12 FEBRUARIE CLASA A VI-A

1. Trei numere naturale a, b, c indeplinesc conditiile: b este egal cu din a, c este egal cu din suma celorlalte doua, iar produsul P al celor trei numere se divide prin suma lor S.

a) Aratati ca S se divide prin 275.

b) Verificati daca este multiplu de 2520.

c) Aflati cele mai mici numere a, b, c.

2. a) Aflati a 2010-a zecimala a numarului.

b)Fie multimile = si = , m2, n1.

i) Aratati ca oricare ar fi numerele natural m si n, m2, n1, suma tuturor elementelor multimii nu poate fie gala cu suma tuturor elementelor multimii

ii) Demonstrati ca , oricare ar fi numerele natural m si n, m2, n1 si ca exista numerele naturalp si q , p2, q1 astfel incat o submultine cu doua elemente a lui sa fie egala cu o submultime a lui

3. Punctele , , , ,, se afla pe o dreapta, =1cm, =3cm, =5cm, =7cm si asa mai departe, astfel incat cm pentru celelalte segmente.

a) Aflati lungimea segmentelor si .

b) Calculati lungimea segmentului , unde M este mijlocul segmentului .

4. Se considera doua unghiuri adiacente AOB si BOC de masuri , respectiv . Semidreptele [OM, [ON, [OP sunt bisectoarele unghiurilor AOB, BOC, respectiv MON. Pe semidreapta opusa lui [OP se considera punctul P , iar in interiorul unghiului AOP' alegem un punct B', astfel incat m(B'OP') = . Demonstrati ca punctele B, O, B' sunt coliniare.

NOTA: TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII. FIECARE SUBIECT ARE 7 PUNCTE. TIMP DE LUCRU 3 ORE