Energia potentiala de deformatie

Energia potentiala de deformatie

Energia potentiala de deformatie a unui corp se calculeaza cu:

W= .Pentru cazurile particulare de solicitare la intindere respectiv compresiune, se obtine o anumita expresie de calcul a energiei potentiale de deformatie avem: ; dV=A(x).dx W= =; unde ( V) este volumul barei supusa la solicitarea de intindere sau compresiune

L = W= ; N=N(x);

A= A(x). Pentru cazul particular, unde N(x)= N = ct si

Figura 70

A(x)=A=ct. sunt constante , W= dar cum dl= ;

L = W=

1. Teoremele lui Castigliano

Fie un corp elastic asupra caruia actioneaza un sistem de forte concentrate F₁ , F₂ , F₃, ., F_k , F_p in echilibru, aici se aplica principiul suprapunerii efectelor. Cand actioneaza sistemul de forte asupra corpului (C) din figura 71 , corpul se deformeaza si inmagazineaza o energie potentiala de deformatie L , egala cu: .

Daca una din forte , anume F_k, se mareste cu dF_k , atunci creste si energia potentiala de deformatie cu si energia totala va fi:

L +    ( a )

Figura 71

Acum se schimba ordinea de aplicare a fortelor si anume : se aplica forta elementara dF_k , punctul de aplicatie al ei sufera o deplasare infinitezimala dδ_k , proiectata pe directia fortei dF_k , lucrul mecanic inmagazinat in corpul (C) este , pe urma se aplica fortele F₁ , F₂ , F₃, ., F_k , F_p care va deforma corpul , producand un lucru mecanic L . Lucrul mecanic total va fi : L + + dF_k.δ_k (b). Forta infinitezimala dF_k se afla deja pe corpul (C) si se deplaseaza cu valoarea deplasarii produsa de forta F_k , adica δ_k , ca atare va produce un lucru mecanic dF_k. δ_k

Produsul nu se pune cu ½ fiindca in parcurgerea sagetii δ_k , forta elementara dF_k ramane constanta , celelalte cresc de la zero la valoarea lor finala. Se egaleaza

( a ) si ( b ) , L + = L + + dF_k.δ_k , iar de unde rezulta :

δ_k = , relatia este prima teorema a lui Castigliano care se enunta astfel: derivata partiala a expresiei energiei potentiale de deformatie , inmagazinata intr-un corp sau sistem elastic, in raport cu o forta concentrata , este egala cu deplasarea din punctul de aplicatie al fortei , proiectata pe directia si sensul ei.

S-a demonstrat in cazul fortelor concentrate , dar in mod analog se demonstreaza si pentru momentele concentrate M_k , si se ajunge la :

, ceea ce reprezinta a doua teorema a lui Castigliano care se enunta asfel : derivata partiala a expresiei energiei potentiale de deformatie , inmagazinata intru-un corp sau sistem elastic, in raport cu un moment concentrat , este egala cu deplasare unghiulara din punctul de aplicatie al momentului , proiectatata pe directia si in sensul momentului.

2. Prima teorema lui Castigliano aplicata la solicitarea axiala Problema nr.1

Sa se calculeze deplasarea punctului C pentru bara din figura 72 , stiind ca E = 2,1 .10⁵ MPa ; l = 0.1 m.

Pentru a afla deplasarea punctului C , se face dl_c = ; daca avem derivate partiale trebuie sa aflam forta de reactiune H_A functie de F_C, apoi la urma se inlocuieste F_C = 10 kN.

; H_A + 20 kN - 17 kN - F_C = 0 ; H_A = F_C - 3 kN ;

Figura 72

Figura 73

Regiunea intai

, N (x₁) = H_A = F_C - 3 kN

Regiunea a II-a

, N (x₂) = H_A + 20 kN = F_C - 3 kN +20 kN = F_C + 17 kN Regiunea a III-a

, N (x₃) = H_A + 20 kN - 17 kN = F_C - 3 kN +3kN = F_C

Figura 74

Figura 75

acum se inlocuieste   F_C = 10 kN si se obtine dl_C = 0,029 mm.